$\alpha $ là nửa góc ở đỉnh hình nón.

Chu vi đường tròn đáy là: $C=2.\pi .R$

Độ dài cung hình quạt, góc $120^{\circ}$ là: $l=\frac{\pi .r.n}{180}=\frac{\pi .16.120}{180}=\frac{\pi .32}{3}$

Vì chu vi đường tròn đáy = độ dài cung hình quạt => $C=l$

=> $\frac{32\pi }{3}=2.\pi R=>R=\frac{16}{3}$

Trong tam giác vuông OSA: $OS^{2}=SA^{2}-OA^{2}=16^{2}-(\frac{16}{3})^{2})$

=> $OS=\sqrt{16^{2}.(1-\frac{1}{9})}=16\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{32}{3}\sqrt{2}$

=> $tan\alpha =\frac{OA}{OS}=\frac{16}{3}:\frac{32}{3}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Vậy chọn đáp án A.