Đề ra:

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là đường tròn nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB. Cho hình đó quay xung quanh trục GO.

Chứng minh rằng:

a. Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b. Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn:

Ở đây ta tính cụ thể thể tích của các hình , sau đó sẽ kết luận được đpcm.

Lời giải:

a) Gọi Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông ABCD là: V.

Ta có :  $V=\Pi .(\frac{AB}{2})^{2}$   với $AB=BC=R\sqrt{2}$

<=> $V=\Pi (\frac{R\sqrt{2}}{2})^{2}.R\sqrt{2}$

<=> $V=\Pi.\frac{2R^{2}}{4}.R\sqrt{2}$

<=> $V=\frac{\Pi R^{3}\sqrt{2}}{2}$

=> $V^{2}=(\frac{\Pi .R^{3}\sqrt{2}}{2})^{2}$ =$\frac{\Pi ^{2}R^{6}}{2}$       (1)

Gọi Thể tích hình cầu có bán kính R là V1.

=> $V1=\frac{4}{3}\Pi R^{3}$.

Gọi Thể tích hình nón sinh ra bởi tam giác là V2.

=> $V2=\frac{1}{3}\Pi (\frac{EF}{2})^{2}GH$

Mà EF= $R\sqrt{3}$  ; $GH=\frac{EF\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}$

=> $V2=\frac{1}{3}\Pi (\frac{R\sqrt{3}}{2})^{2}\frac{3R}{2}=\frac{3}{8}\Pi R^{3}$

Ta có : V1.V2=$\frac{4}{3}\Pi R^{3}.\frac{3}{8}\Pi R^{3}=\frac{\Pi ^{2}R^{6}}{2}$     (2)

Từ (1) và (2) => $V^{2}=V1.V2$ (đpcm).

b) Gọi Diện tích toàn phần của hình trụ là S.

<=> $S=2\Pi (\frac{AB}{2}).BC+2\Pi (\frac{AB}{2})^{2}$

<=> $S=2\Pi (\frac{R\sqrt{2}}{2}).R\sqrt{2}+2\Pi (\frac{R\sqrt{2}}{2})^{2}$

<=> $S=2\Pi R^{2}+\Pi R^{2}=3\Pi R^{2}$

=> $S^{2}=(3\Pi R^{2})^{2}=9\Pi ^{2}R^{4}$                                     (1)

Gọi Diện tích mặt cầu là S1.

=> $S1=4\Pi R^{2}$

Gọi Diện tích toàn phần của hình nón là S2.

=> $S2=\Pi \frac{EF}{2}FG+\Pi \frac{EF}{2}^{2}$

<=> $S2=\Pi \frac{R\sqrt{3}}{2}R\sqrt{3}+\Pi \frac{R\sqrt{3}}{2}^{2}=\frac{9\Pi R^{2}}{4}$

Ta có : S1.S2= $4\Pi R^{2}.\frac{9\Pi R^{2}}{4}=9\Pi ^{2}R^{4}$                       (2)

Từ (1) và (2) => $S^{2}=S1.S2$  (đpcm)