Đề ra :

Cho ba điểm A; O; B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a; OB = b (a; b cùng đơn vị: cm) Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D.

a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi?

b) Tính diện tích hình thang ABCD khi ∠COA = 60º ?

c) Với ∠COA = 60 cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành?

                     

Hướng dẫn : 

Ta có : Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy nhỏ) . chiều cao : 2.

Tính :  $V_{AOC}$ = ?  

            $V_{BOD}$ = ?

=>    $\frac{V_{AOC}}{V_{BOD}}$=?

Lời giải:

a) Ta có: ∠O1 + ∠O2 = 90º  và  ∠D1 + ∠O2 = 90º.

=>  ∠O1 = ∠D2

=>  ΔAOC ~ ΔBDO (đpcm).

=> AC/AO = BO/BD

=> AC.BD = AO.BO

=> BD =a.b.

Vậy tích số AC.BD không đổi.

b) Với ∠COA = 60º ta có:

AC = artg60º = $a\sqrt{3}$

BD = b.tg30º = $\frac{b\sqrt{3}}{3}$

=> $S_{ABCD}$ = 1/2AB.(AC + BD) = 1/2 (a + b) ($a\sqrt{3}$ + $\frac{b\sqrt{3}}{3}$) = (a + b)(3a + b).$\frac{\sqrt{3}}{6}$

c)  Khi quay xung quanh AB thì tam giác AOC tạo thành hình nón, đỉnh O, bán kính đáy r1 = AC = $a\sqrt{3}$ , chiều cao AO = a.

=> Thể tích V1 = $\frac{1}{3}\Pi $.AC².AQ.

=> V1 = $\Pi a^{3}$.

     Khi quay xung quanh AB thì tam giác BOD tạo thành hình nón, đỉnh O, bán kính r2 = BD = $\frac{b\sqrt{3}}{3}$ , chiều cao BO = b.

=> Thể tích V2 = $\frac{1}{3}\Pi $.BD².OB.

=> V2 = $\frac{1}{9}\Pi b^{3}$.

=>  $\frac{V1}{V2}=\frac{\Pi a^{3}}{\frac{1}{9}\Pi b^{3}}=\frac{9a^{3}}{b^{3}}$