a) $\frac{1}{2}\log(x^{2}+x-5)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}$

Đk: $\left\{\begin{matrix}x^{2}+x-5>0 & \\ x>0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\frac{1}{2}\log(x^{2}+x-5)=\log(\frac{5x}{5x})$

<=> $\frac{1}{2}\log(x^{2}+x-5)=1$

<=> $x^{2}+x-5=1$

<=> $x^{2}+x-6=0$

<=> $x=-3$  (loại) hoặc $x=2$  (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$.

b) $\frac{1}{2}\log(x^{2}-4x-1)=\log 8x-\log 4x$

Đk: $\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x-1>0 & \\ x>0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\frac{1}{2}\log(x^{2}-4x-1)=\log \frac{8x}{4x}$

<=> $\frac{1}{2}\log(x^{2}-4x-1)=\log 2$

<=> $\log(x^{2}-4x-1)=2\log 2$

<=> $\log(x^{2}-4x-1)=\log 2^{2}$

<=> $x^{2}-4x-1=4$

<=> $x^{2}-4x-5=0$

<=> $x=-1$  (loại)  hoặc  $x=5$  (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

c) $\log_{\sqrt{2}}x+4\log_{4}x+\log_{8}x=13$

Đk: $x>0$

<=> $\log_{2^{\frac{1}{2}}}x+4\log_{2^{2}}x+\log_{2^{3}}x=13$

<=> $2\log_{2}x+2\log_{2}x+\frac{1}{3}\log_{2}x=13$

<=> $\frac{13}{3}\log_{2}x=13$

<=> $\log_{2}x=3$

<=> $x=2^{3}=8$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=8$.