a) Vì A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$ nên $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x'=3-1=2\\ y'=5+2=7\end{matrix}\right.$

Vậy A'(2;7).

Tương tự B'(-2;3).

b) Do A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$ nên 

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3-x_{C}=-1 \\ 5-y_{C}=2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C}=4\\ y_{C}=3\end{matrix}\right.$.

Vậy C(4;3).

c) Cách 1: Gọi $M(x,y) \in d, M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}(M)$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x'=x-1\\ y'=y+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=x'+1\\ y=y'-2\end{matrix}\right.$

Mặt khác $M \in d$ nên $ x-2y+3=0\Rightarrow (x'+1)-2(y'-2)+3=0\Leftrightarrow x'-2y'+8=0$.

Do đó $M' \in d': x-2y+8=0$.

Vậy $T_{\overrightarrow{v}}(d)=d'$.

Cách 2: Do $T_{\overrightarrow{v}}(d)=d'$ nên d song song hoặc trùng với d'. Suy ra $\overrightarrow{u}_{d'}=(1;-2)$.

Lấy một điểm $B(-1;1) \in d$ (lấy một điểm bất kì thuộc d đều được). Tìm ảnh B' của B qua phép tính tiến theo $\overrightarrow{v}$.

Viết phương trình đường thẳng d' có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}_{d'}=(1;-2)$ và đi qua điểm B'.