a) $(P): y = ax^{2} + bx + c$

<=> $\left\{\begin{matrix}A\in (P) &  & \\ B\in (P) &  & \\ C\in (P) &  & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}c=-1 &  & \\ a+b+c=-1 &  & \\ a-b+c=1 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}c=-1 &  & \\ b=-1 &  & \\ a=1 &  & \end{matrix}\right.$

Vậy parabol cần tìm có phương trình là: $y = x^{2} - x - 1$

b) Vì parabol $y = ax^{2} + bx + c$ có đỉnh I(1; 4) nên ta có:

<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{-b}{2a}=1  (1)& \\ y(1)=a+b+c=4  (2)& \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}b=-2a & \\ a+b+c=4 & \end{matrix}\right.$

Parabol đi qua D(3; 0) nên: 9a + 3b + c = 0 (3)

Thế (1) vào (2), (3) ta có:

$\left\{\begin{matrix}-a+c=4 & \\ 3a+c=0 & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}a=-1 => b=2 & \\ c=3 & \end{matrix}\right.$

Vậy parabol cần tìm có phương trình là: $y = -x^{2} + 2x + 3$